BILANGAN REAL
Pada materi ini akan dibahas sifat-sifat penting dari sistem bilangan real ℝ , seperti sifat-sifat
aljabar, urutan, dan ketaksamaan. Selanjutnya, akan diberikan beberapa pengertian
seperti bilangan rasional, harga mutlak, himpunan terbuka, dan pengertian lainnya yang
berkaitan dengan bilangan real.
1.1. Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam ℝ
Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat ℝ , diberikan terlebih dahulu tentang struktur
aljabar dari sistem bilangan real. Akan diberikan penjelasan singkat mengenai sifat-sifat
dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar lain yang dapat diturunkan
dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi aljabar abstrak, sistem
bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi biner penjumlahan dan
perkalian biasa.
Sifat-sifat Aljabar ℝ
Pada himpunan semua bilangan real ℝ terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan
“+” dan “.” yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan perkalian
(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:
(A1) a + b = b + a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif penjumlahan)
(A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif penjumlahan)
(A3) terdapat 0Îℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen nol)
(A4) untuk setiap aÎℝ terdapat -aÎℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan
(-a) + a = 0 (eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan)
(M1) a ×b = b× a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif perkalian)
(M2) (a ×b) × c = a × (b × c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif perkalian)
(M3) terdapat 1Îℝ sedemikian hingga 1× a = a dan a ×1 = a untuk semua aÎℝ
(eksistensi elemen unit 1)
(M4)untuk setiap aÎℝ , a ¹ 0 terdapat Îℝ sedemikian hingga a . ) dan ().a = 1
(eksistensi invers perkalian)
(D) a × (b + c) = (a ×b) + (a ×c) dan (b + c) ×a = (b ×a) + (c × a) untuk semua a,b,cÎℝ
(sifat distributif perkalian atas penjumlahan)
Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Sifat (A1)-(A4) menjelaskan sifat
penjumlahan, sifat (M1)-(M4) menjelaskan sifat perkalian, dan sifat terakhir
menggabungkan kedua operasi.
Selanjutnya, diberikan beberapa teorema tentang elemen 0 dan 1 yang telah
diberikan pada sifat (A3) dan (M3) di atas. Juga akan ditunjukkan bahwa perkalian
dengan 0 akan selalu menghasilkan 0.
Teorema 1.1.1.
(a) Jika z, aÎℝ dengan z + a = a , maka z = 0 .
(b) Jika u dan b ¹ 0 elemen ℝ dengan u ×b = b , maka u =1.
(c) Jika aÎℝ , maka a ×0 = 0 .
Bukti.
(a) Menggunakan aksioma (A3), (A4), (A2), asumsi z + a = a , dan (A4), diperoleh
Z = z
=z+{ a +(-a)}
=(z+a)+(-a)
=a+(-a)
= 0
(b) Menggunakan aksioma (M3), (M4), (M2), asumsi u ×b = b , dan (M4), diperoleh
U = u . 1
= u .
= u . b
= b .
= 1
(c) Karena a + a ×0 = a ×1+ a ×0 = a.(1+ 0) = a ×1 = a , maka a ×0 = 0 .
Dengan demikian, maka teorema terbukti. _
Teorema 1.1.2. Jika aÎℝ , maka
(a) (-1).a = -a .
(b) -(-a) = a .
(c) (-1)×(-1) =1.
Selanjutnya, diberikan dua sifat penting dari operasi perkalian, yaitu sifat
ketunggalan elemen inversnya dan bahwa perkalian dua bilangan itu hasilnya nol
apabila salah satu faktornya adalah nol.
Teorema 1.1.3.
(a) Jika a + b = 0 , maka b = -a .
(b) Jika a ¹ 0 dan bÎℝ sedemikian hingga a ×b =1, maka
1
b
a
= .
(c) Jika a ×b = 0 , maka a = 0 atau b = 0 .
Bukti.
(a) Karena a + b = 0 , maka
a + b = 0 Û (-a) + (a + b) = (-a) + 0
4
Û ((-a) + a)+ b = -a (A2 dan A3)
Û 0 + b = -a (A4)
Û b = -a . (A3)
(b) Karena a ×b = 1, maka
a ×b =1 Û ( ) 1 1
a b 1
a a
× = ×
Û ( ) 1 1
a b
a a
× =
Û 1
1 b
a
× =
Û 1
b
a
= .
(c) Diketahui a ×b = 0 , maka
a ×b = 0 Û ( ) 1 1
a b 0
a a
× × = ×
Û ( ) 1
a b 0
a
× =
Û ( ) 1
a b 0
a
× =
Û 1×b = 0
Û b = 0 .
Dengan cara yang sama, kedua ruas dikalikan dengan
1
b
, maka diperoleh a = 0 .
Dengan demikian teorema terbukti. _
Teorema tersebut di atas menjelaskan beberapa sifat aljabar sederhana dari
sistem bilangan real
Bilangan Rasional dan Irrasional
Telah diketahui bahwa himpunan ℕ dan ℤ adalah subset dari ℝ . Elemen ℝ yang
dapat dituliskan dalam bentuk
b
a
di mana a,bÎℤ dan a ¹ 0 disebut dengan bilangan
rasional (rational numbers). Himpunan semua bilangan rasional di ℝ dinotasikan
dengan ℚ. Dapat ditunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian dua bilangan rasional
adalah bilangan rasional. Lebih lanjut, sifat-sifat lapangan juga berlaku untuk ℚ.
Akan tetapi, tidak semua elemen ℝ merupakan elemen ℚ, seperti 2 yang
tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk
b
a
. Elemen ℝ yang bukan elemen ℚ disebut
bilangan irrasional (irrational numbers).
Akan ditunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional yang kuadratnya
adalah 2. Untuk membuktikannya digunakan istilah genap dan ganjil. Suatu bilangan
asli disebut genap apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2n untuk suatu nÎℕ, dan
disebut ganjil apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2n -1 untuk suatu nÎℕ.
Teorema 1.1.4. Tidak ada elemen rÎℚ sedemikian hingga r2 = 2 .
Pengantar Analisis Real I
6
Bukti. Andaikan ada rÎℚ sedemikian hingga r2 = 2 . Karena rÎℚ, maka r dapat
dituliskan sebagai
p
q
dengan p dan q tidak mempunyai faktor berserikat selain 1,
sehingga diperoleh
2
2
p
q
=
atau p2 = 2q2 . Karena 2q2 genap, maka p2 genap.
Akibatnya p juga genap, sebab jika ganjil, maka p = 2m-1 untuk suatu mÎℕ , atau
( ) ( ) p2 = 2m-1 2 = 4m2 – 4m+1 = 2 2m2 – 2m +1 yang berarti bahwa p2 ganjil. Jadi, p
haruslah genap. Karena p genap, maka p = 2k untuk suatu k Îℕ , sehingga
( )p2 = 2k 2 = 4k 2 . Di lain pihak diketahui p2 = 2q2 dan p genap, akibatnya q ganjil,
sebab jika q genap, maka faktor berserikat p dan q bukan 1. Jadi, q haruslah ganjil.
Sehingga diperoleh p2 = 2q2 Û 4k2 = 2q2 Û 2k2 = q2 yang berarti q genap. Timbul
kontradiksi bahwa q ganjil. Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah tidak ada rÎℚ
sedemikian hingga r2 = 2 . _
Sifat-sifat Urutan pada ℝ
Sifat urutan menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities)
di antara bilangan-bilangan real.
Ada subset tak kosong P Ì ℝ, yang disebut dengan himpunan bilanganbilangan
real positif tegas, yang memenuhi sifat-sifat berikut:
(i) Jika a,bÎP , maka a + bÎP .
(ii) Jika a,bÎP , maka abÎP .
(iii) Jika aÎP , maka memenuhi tepat satu kondisi berikut:
aÎP , a = 0 , -aÎP .
Sifat pertama dan kedua pada teorema di atas menjelaskan tentang sifat tertutup_
P terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat yang ketiga (iii) sering disebut
Sifat Trikotomi (Trichotomy Property), sebab akan membagi ℝ ke dalam tiga jenis
elemen yang berbeda. Hal ini menjelaskan bahwa himpunan {-a : aÎP} dari bilangan
Pengantar Analisis Real I
7
real negatif tidak mempunyai elemen yang sama dengan himpunan bilangan real positif.
Lebih lanjut, ℝ merupakan gabungan tiga himpunan saling asing tersebut, yaitu
ℝ = PÈ{-a : aÎP}È{0} .
Definisi 1.1.5.
(i) Jika aÎP , ditulis a > 0 , artinya a adalah bilangan real positif.
(ii) Jika aÎPÈ{0}, ditulis a ³ 0 , artinya a adalah bilangan real nonnegatif.
(iii) Jika -aÎP , ditulis a < 0 , artinya a adalah bilangan real negatif.
(iv) Jika -aÎPÈ{0}, ditulis a £ 0 , artinya a adalah bilangan real nonpositif.
Definisi 1.1.6. Diberikan a,bÎℝ .
(a) Jika a -bÎP , maka ditulis a > b atau b < a .
(b) Jika a - bÎPÈ{0} , maka ditulis a ³ b atau b £ a .
Sifat Trikotomi di atas berakibat bahwa untuk a,bÎℝ memenuhi tepat satu
kondisi berikut:
a > b , a = b , a < b .
Selanjutnya, jika a £ b dan b £ a , maka a = b . Jika a < b < c , maka artinya
bahwa a < b dan b < c .
Teorema 1.1.7. Diberikan sebarang a,b,cÎℝ.
(a) Jika a > b dan b > c , maka a > c .
(b) Jika a > b , maka a + c > b + c .
(c) Jika a > b dan c > 0 , maka ca > cb .
Jika a > b dan c < 0 , maka ca < cb .
(d) Jika a > 0 , maka
1
0
a
> .
Jika a<0, maka
1
0
a
< .
Pengantar Analisis Real I
8
Bukti.
(a) Diketahui a > b dan b > c , a,b,cÎℝ. Karena a > b , maka a -bÎP . Karena
b > c , maka b - cÎP . Menurut sifat urutan, maka a + bÎP , sehingga
diperoleh
(a - b) + (b + c)ÎP Û a -b + b - cÎP
Û(a - c) + (-b + b)ÎP
Û(a - c) + 0ÎP
Û a - cÎP
Û a > c.
(b) Jika a -bÎP , maka (a + c) – (b - c) = a -bÎP . Sehingga diperoleh bahwa
a + c > b + c .
(c) Jika a -bÎP dan cÎP , maka ca - cb = c (a - b)ÎP . Akibatnya ca > cb untuk
c > 0 . Gunakan langkah yang sama untuk c < 0
(d) Cobalah Anda buktikan sendiri. _
Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa bilangan asli juga merupakan bilangan real
positif. Sifat ini diperoleh dari sifat dasar urutan, berikut ini diberikan teoremanya.
Teorema 1.1.8.
(a) Jika aÎℝ dan a ¹ 0 , maka a2 > 0 .
(b) 1 > 0 .
(c) Jika nÎℕ, maka n > 0 .
Teorema 1.1.9. Jika a,bÎℝ dan a < b , maka
2
a b
a b
< + < .
Pengantar Analisis Real I
9
Bukti. Karena a < b , maka a + a < a + bÛ 2a < a + b , diperoleh ( )
2
a b
a
+
< . Karena
a < b , maka a + b < b + bÛ a + b < 2b , diperoleh ( )
2
a b
b
+
< . Akibatnya, dari kedua
pernyataan di atas diperoleh bahwa
2
a b
a b
< + < . ı
Dapat ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan real positif yang terkecil, sebab jika
diberikan a > 0 , dan karena
1
0
2
> , maka diperoleh
1
0
2
< a < a .
Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan a ³ 0 adalah sama
dengan nol, maka harus ditunjukkan bahwa a selalu lebih kecil dari sebarang bilangan
positif yang diberikan.
Teorema 1.1.10. Jika aÎℝ sedemikian hingga 0 £ a <e untuk setiap e > 0 , maka
a = 0 .
Bukti. Andaikan a > 0 , maka 0
2
a
a > > . Diambil 0 2
a e = ( 0 e bilangan real positif
tegas), maka 0 a >e > 0 . Kontradiksi dengan pernyataan 0 £ a <e untuk setiap e > 0 .
Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah a = 0 . _
Perkalian antara dua bilangan positif hasilnya adalah positif. Akan tetapi, hasil
perkalian yang positif belum tentu setiap faktornya positif.
Teorema 1.1.11. Jika ab > 0 , maka berlaku
(i) a > 0 dan b > 0 , atau
(ii) a < 0 dan b < 0 .
Pengantar Analisis Real I
10
Akibat 1.1.12. Jika ab < 0 , maka berlaku
(i) a < 0 dan b > 0 , atau
(ii) a > 0 dan b < 0 .
Ketaksamaan (Inequalities)
Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana sifat urutan dapat digunakan untuk
menyelesaikan suatu ketaksamaan. Perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 1.1.13.
(a) Tentukan himpunan A dari bilangan real x sedemikian hingga 2x + 3 £ 6 .
Jawab. Diketahui xÎ A dan 2x + 3 £ 6 , maka
2x + 3 £ 6 Û 2x £ 3 Û
3
2
x £ .
Jadi,
3
:
2
A x x
= Î £
ℝ .
(b) Diberikan B = {xÎℝ: x2 + x > 2}. Tentukan bentuk lain dari B.
Jawab. Diketahui xÎB dan x2 + x > 2 atau x2 + x - 2 > 0 atau
(x -1)(x + 2) > 0 . Sehingga diperoleh bahwa (i) x -1 > 0 dan x + 2 > 0 , atau
(ii) x -1< 0 dan x + 2 < 0 . Untuk kasus (i) diperoleh bahwa x >1 dan
x > -2, yang berarti x >1. Untuk kasus (ii) diperoleh bahwa x <1 dan
x < -2 , yang berarti x < -2 . Jadi, himpunannya adalah
B = {xÎℝ: x >1}È{xÎℝ: x < -2}.
Teorema 1.1.14. Jika a ³ 0 dan b ³ 0 , maka
(a) a < bÛ a2 < b2 Û a < b .
(b) a £ bÛ a2 £ b2 Û a £ b .
