BILANGAN REAL

Pada materi ini akan dibahas sifat-sifat penting dari sistem bilangan real ℝ , seperti sifat-sifat

aljabar, urutan, dan ketaksamaan. Selanjutnya, akan diberikan beberapa pengertian

seperti bilangan rasional, harga mutlak, himpunan terbuka, dan pengertian lainnya yang

berkaitan dengan bilangan real.

1.1. Sifat-sifat Aljabar dan Urutan dalam

Sebelum menjelaskan tentang sifat-sifat ℝ , diberikan terlebih dahulu tentang struktur

aljabar dari sistem bilangan real. Akan diberikan penjelasan singkat mengenai sifat-sifat

dasar dari penjumlahan dan perkalian, sifat-sifat aljabar lain yang dapat diturunkan

dalam beberapa aksioma dan teorema. Dalam terminologi aljabar abstrak, sistem

bilangan real membentuk lapangan (field) terhadap operasi biner penjumlahan dan

perkalian biasa.

Sifat-sifat Aljabar

Pada himpunan semua bilangan real ℝ terdapat dua operasi biner, dinotasikan dengan

“+” dan “.” yang disebut dengan penjumlahan (addition) dan perkalian

(multiplication). Operasi biner tersebut memenuhi sifat-sifat berikut:

(A1) a + b = b + a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif penjumlahan)

(A2) (a + b) + c = a + (b + c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif penjumlahan)

(A3) terdapat 0Îℝ sedemikian hingga 0 + a = a dan a + 0 = a untuk semua aÎℝ

(eksistensi elemen nol)

(A4) untuk setiap aÎℝ terdapat -aÎℝ sedemikian hingga a + (-a) = 0 dan

(-a) + a = 0 (eksistensi elemen negatif atau invers penjumlahan)

(M1) a ×b = b× a untuk semua a,bÎℝ (sifat komutatif perkalian)

(M2) (a ×b) × c = a × (b × c) untuk semua a,b, cÎℝ (sifat assosiatif perkalian)

(M3) terdapat 1Îℝ sedemikian hingga 1× a = a dan a ×1 = a untuk semua aÎℝ

(eksistensi elemen unit 1)

(M4)untuk setiap aÎℝ , a ¹ 0 terdapat Îℝ sedemikian hingga a . ) dan ().a = 1

(eksistensi invers perkalian)

(D) a × (b + c) = (a ×b) + (a ×c) dan (b + c) ×a = (b ×a) + (c × a) untuk semua a,b,cÎℝ

(sifat distributif perkalian atas penjumlahan)

Sifat-sifat di atas telah umum diketahui. Sifat (A1)-(A4) menjelaskan sifat

penjumlahan, sifat (M1)-(M4) menjelaskan sifat perkalian, dan sifat terakhir

menggabungkan kedua operasi.

Selanjutnya, diberikan beberapa teorema tentang elemen 0 dan 1 yang telah

diberikan pada sifat (A3) dan (M3) di atas. Juga akan ditunjukkan bahwa perkalian

dengan 0 akan selalu menghasilkan 0.

Teorema 1.1.1.

(a) Jika z, aÎℝ dengan z + a = a , maka z = 0 .

(b) Jika u dan b ¹ 0 elemen dengan u ×b = b , maka u =1.

(c) Jika aÎℝ , maka a ×0 = 0 .

Bukti.

(a) Menggunakan aksioma (A3), (A4), (A2), asumsi z + a = a , dan (A4), diperoleh

Z =  z

=z+{ a +(-a)}

=(z+a)+(-a)

=a+(-a)

= 0

(b) Menggunakan aksioma (M3), (M4), (M2), asumsi u ×b = b , dan (M4), diperoleh

U = u . 1

= u .

= u . b

= b .

= 1

(c) Karena a + a ×0 = a ×1+ a ×0 = a.(1+ 0) = a ×1 = a , maka a ×0 = 0 .

Dengan demikian, maka teorema terbukti. _

Teorema 1.1.2. Jika aÎℝ , maka

(a) (-1).a = -a .

(b) -(-a) = a .

(c) (-1)×(-1) =1.

Selanjutnya, diberikan dua sifat penting dari operasi perkalian, yaitu sifat

ketunggalan elemen inversnya dan bahwa perkalian dua bilangan itu hasilnya nol

apabila salah satu faktornya adalah nol.

Teorema 1.1.3.

(a) Jika a + b = 0 , maka b = -a .

(b) Jika a ¹ 0 dan bÎℝ sedemikian hingga a ×b =1, maka

1

b

a

= .

(c) Jika a ×b = 0 , maka a = 0 atau b = 0 .

Bukti.

(a) Karena a + b = 0 , maka

a + b = 0 Û (-a) + (a + b) = (-a) + 0

 

4

Û ((-a) + a)+ b = -a (A2 dan A3)

Û 0 + b = -a (A4)

Û b = -a . (A3)

(b) Karena a ×b = 1, maka

a ×b =1 Û ( ) 1 1

a b 1

a a

    × = ×

 

Û ( ) 1 1

a b

a a

   ×  =

 

Û 1

1 b

a

× =

Û 1

b

a

= .

(c) Diketahui a ×b = 0 , maka

a ×b = 0 Û ( ) 1 1

a b 0

a a

      × × =   ×

   

Û ( ) 1

a b 0

a

   ×  =

 

Û ( ) 1

a b 0

a

   ×  =

 

Û 1×b = 0

Û b = 0 .

Dengan cara yang sama, kedua ruas dikalikan dengan

1

b

, maka diperoleh a = 0 .

Dengan demikian teorema terbukti. _

Teorema tersebut di atas menjelaskan beberapa sifat aljabar sederhana dari

sistem bilangan real

Bilangan Rasional dan Irrasional

Telah diketahui bahwa himpunan ℕ dan ℤ adalah subset dari ℝ . Elemen ℝ yang

dapat dituliskan dalam bentuk

b

a

di mana a,bÎℤ dan a ¹ 0 disebut dengan bilangan

rasional (rational numbers). Himpunan semua bilangan rasional di ℝ dinotasikan

dengan ℚ. Dapat ditunjukkan bahwa penjumlahan dan perkalian dua bilangan rasional

adalah bilangan rasional. Lebih lanjut, sifat-sifat lapangan juga berlaku untuk ℚ.

Akan tetapi, tidak semua elemen ℝ merupakan elemen ℚ, seperti 2 yang

tidak dapat dinyatakan ke dalam bentuk

b

a

. Elemen ℝ yang bukan elemen ℚ disebut

bilangan irrasional (irrational numbers).

Akan ditunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan rasional yang kuadratnya

adalah 2. Untuk membuktikannya digunakan istilah genap dan ganjil. Suatu bilangan

asli disebut genap apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2n untuk suatu nÎℕ, dan

disebut ganjil apabila bilangan itu mempunyai bentuk 2n -1 untuk suatu nÎℕ.

Teorema 1.1.4. Tidak ada elemen rÎℚ sedemikian hingga r2 = 2 .

Pengantar Analisis Real I

6

Bukti. Andaikan ada rÎℚ sedemikian hingga r2 = 2 . Karena rÎℚ, maka r dapat

dituliskan sebagai

p

q

dengan p dan q tidak mempunyai faktor berserikat selain 1,

sehingga diperoleh

2

2

p

q

 

  =

 

atau p2 = 2q2 . Karena 2q2 genap, maka p2 genap.

Akibatnya p juga genap, sebab jika ganjil, maka p = 2m-1 untuk suatu mÎℕ , atau

( ) ( ) p2 = 2m-1 2 = 4m2 – 4m+1 = 2 2m2 – 2m +1 yang berarti bahwa p2 ganjil. Jadi, p

haruslah genap. Karena p genap, maka p = 2k untuk suatu k Îℕ , sehingga

( )p2 = 2k 2 = 4k 2 . Di lain pihak diketahui p2 = 2q2 dan p genap, akibatnya q ganjil,

sebab jika q genap, maka faktor berserikat p dan q bukan 1. Jadi, q haruslah ganjil.

Sehingga diperoleh p2 = 2q2 Û 4k2 = 2q2 Û 2k2 = q2 yang berarti q genap. Timbul

kontradiksi bahwa q ganjil. Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah tidak ada rÎℚ

sedemikian hingga r2 = 2 . _

Sifat-sifat Urutan pada

Sifat urutan menjelaskan tentang kepositifan (positivity) dan ketaksamaan (inequalities)

di antara bilangan-bilangan real.

Ada subset tak kosong P Ì ℝ, yang disebut dengan himpunan bilanganbilangan

real positif tegas, yang memenuhi sifat-sifat berikut:

(i) Jika a,bÎP , maka a + bÎP .

(ii) Jika a,bÎP , maka abÎP .

(iii) Jika aÎP , maka memenuhi tepat satu kondisi berikut:

aÎP , a = 0 , -aÎP .

Sifat pertama dan kedua pada teorema di atas menjelaskan tentang sifat tertutup_

P terhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Sifat yang ketiga (iii) sering disebut

Sifat Trikotomi (Trichotomy Property), sebab akan membagi ℝ ke dalam tiga jenis

elemen yang berbeda. Hal ini menjelaskan bahwa himpunan {-a : aÎP} dari bilangan

Pengantar Analisis Real I

7

real negatif tidak mempunyai elemen yang sama dengan himpunan bilangan real positif.

Lebih lanjut, ℝ merupakan gabungan tiga himpunan saling asing tersebut, yaitu

ℝ = PÈ{-a : aÎP}È{0} .

Definisi 1.1.5.

(i) Jika aÎP , ditulis a > 0 , artinya a adalah bilangan real positif.

(ii) Jika aÎPÈ{0}, ditulis a ³ 0 , artinya a adalah bilangan real nonnegatif.

(iii) Jika -aÎP , ditulis a < 0 , artinya a adalah bilangan real negatif.

(iv) Jika -aÎPÈ{0}, ditulis a £ 0 , artinya a adalah bilangan real nonpositif.

Definisi 1.1.6. Diberikan a,bÎℝ .

(a) Jika a -bÎP , maka ditulis a > b atau b < a .

(b) Jika a - bÎPÈ{0} , maka ditulis a ³ b atau b £ a .

Sifat Trikotomi di atas berakibat bahwa untuk a,bÎℝ memenuhi tepat satu

kondisi berikut:

a > b , a = b , a < b .

Selanjutnya, jika a £ b dan b £ a , maka a = b . Jika a < b < c , maka artinya

bahwa a < b dan b < c .

Teorema 1.1.7. Diberikan sebarang a,b,cÎℝ.

(a) Jika a > b dan b > c , maka a > c .

(b) Jika a > b , maka a + c > b + c .

(c) Jika a > b dan c > 0 , maka ca > cb .

Jika a > b dan c < 0 , maka ca < cb .

(d) Jika a > 0 , maka

1

0

a

> .

Jika a<0, maka

1

0

a

< .

Pengantar Analisis Real I

8

Bukti.

(a) Diketahui a > b dan b > c , a,b,cÎℝ. Karena a > b , maka a -bÎP . Karena

b > c , maka b - cÎP . Menurut sifat urutan, maka a + bÎP , sehingga

diperoleh

(a - b) + (b + c)ÎP Û a -b + b - cÎP

Û(a - c) + (-b + b)ÎP

Û(a - c) + 0ÎP

Û a - cÎP

Û a > c.

(b) Jika a -bÎP , maka (a + c) – (b - c) = a -bÎP . Sehingga diperoleh bahwa

a + c > b + c .

(c) Jika a -bÎP dan cÎP , maka ca - cb = c (a - b)ÎP . Akibatnya ca > cb untuk

c > 0 . Gunakan langkah yang sama untuk c < 0

(d) Cobalah Anda buktikan sendiri. _

Oleh karena itu, dapat dilihat bahwa bilangan asli juga merupakan bilangan real

positif. Sifat ini diperoleh dari sifat dasar urutan, berikut ini diberikan teoremanya.

Teorema 1.1.8.

(a) Jika aÎℝ dan a ¹ 0 , maka a2 > 0 .

(b) 1 > 0 .

(c) Jika nÎℕ, maka n > 0 .

Teorema 1.1.9. Jika a,bÎℝ dan a < b , maka

2

a b

a b

< + < .

Pengantar Analisis Real I

9

Bukti. Karena a < b , maka a + a < a + bÛ 2a < a + b , diperoleh ( )

2

a b

a

+

< . Karena

a < b , maka a + b < b + bÛ a + b < 2b , diperoleh ( )

2

a b

b

+

< . Akibatnya, dari kedua

pernyataan di atas diperoleh bahwa

2

a b

a b

< + < . ı

Dapat ditunjukkan bahwa tidak ada bilangan real positif yang terkecil, sebab jika

diberikan a > 0 , dan karena

1

0

2

> , maka diperoleh

1

0

2

< a < a .

Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa suatu himpunan a ³ 0 adalah sama

dengan nol, maka harus ditunjukkan bahwa a selalu lebih kecil dari sebarang bilangan

positif yang diberikan.

Teorema 1.1.10. Jika aÎℝ sedemikian hingga 0 £ a <e untuk setiap e > 0 , maka

a = 0 .

Bukti. Andaikan a > 0 , maka 0

2

a

a > > . Diambil 0 2

a e = ( 0 e bilangan real positif

tegas), maka 0 a >e > 0 . Kontradiksi dengan pernyataan 0 £ a <e untuk setiap e > 0 .

Jadi, pengandaian salah, yang benar adalah a = 0 . _

Perkalian antara dua bilangan positif hasilnya adalah positif. Akan tetapi, hasil

perkalian yang positif belum tentu setiap faktornya positif.

Teorema 1.1.11. Jika ab > 0 , maka berlaku

(i) a > 0 dan b > 0 , atau

(ii) a < 0 dan b < 0 .

Pengantar Analisis Real I

10

Akibat 1.1.12. Jika ab < 0 , maka berlaku

(i) a < 0 dan b > 0 , atau

(ii) a > 0 dan b < 0 .

Ketaksamaan (Inequalities)

Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana sifat urutan dapat digunakan untuk

menyelesaikan suatu ketaksamaan. Perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 1.1.13.

(a) Tentukan himpunan A dari bilangan real x sedemikian hingga 2x + 3 £ 6 .

Jawab. Diketahui xÎ A dan 2x + 3 £ 6 , maka

2x + 3 £ 6 Û 2x £ 3 Û

3

2

x £ .

Jadi,

3

:

2

A x x

  =  Î £ 

 

ℝ .

(b) Diberikan B = {xÎℝ: x2 + x > 2}. Tentukan bentuk lain dari B.

Jawab. Diketahui xÎB dan x2 + x > 2 atau x2 + x - 2 > 0 atau

(x -1)(x + 2) > 0 . Sehingga diperoleh bahwa (i) x -1 > 0 dan x + 2 > 0 , atau

(ii) x -1< 0 dan x + 2 < 0 . Untuk kasus (i) diperoleh bahwa x >1 dan

x > -2, yang berarti x >1. Untuk kasus (ii) diperoleh bahwa x <1 dan

x < -2 , yang berarti x < -2 . Jadi, himpunannya adalah

B = {xÎℝ: x >1}È{xÎℝ: x < -2}.

Teorema 1.1.14. Jika a ³ 0 dan b ³ 0 , maka

(a) a < bÛ a2 < b2 Û a < b .

(b) a £ bÛ a2 £ b2 Û a £ b .

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: