BARISAN DAN DERET

2.1. Barisan dan Limit Barisan

Barisan (sequence) pada himpunan S adalah suatu fungsi dengan domain ℕ dan

mempunyai range dalam S. Pada subbab ini akan dibahas mengenai barisan di ℝ dan

konvergensi dari suatu barisan.

Definisi 2.1.1. Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada

himpunan ℕ dengan range dalam ℝ .

Dengan kata lain, barisan dalam ℝ mengawankan setiap bilangan asli

n =1, 2,3,… kepada suatu bilangan real. Jika X :ℕ®ℝ merupakan barisan, maka

biasanya dituliskan dengan nilai dari X pada n dengan notasi n x . Barisan sering

dinotasikan dengan X atau ( ) n x atau ( : ) n x nÎℕ atau { } n x atau { } n n 1 x ³ . Apabila

diketahui suatu barisan Y, artinya ( ) k Y = y .

Contoh 2.1.2.

(a) Barisan ( ) n x dengan ( 1)n

n x = – adalah barisan 1,1, 1,1, 1,1,…,( 1) ,… n – – – – .

(b) Barisan ( ) n x dengan

1

2 n n x = ,

1 1 1 1 1

: , , ,…, ,…

2n 2 4 8 2n n

   Î  =

 

ℕ .

(c) Barisan konstan ( ) n k dengan 3 n k = adalah 3,3,3,3,…. .

Pengantar Analisis Real I

39

(d) Barisan

1 2 3

, , ,…, ,…

1 2 3 4 1

n n

n n

  =  +  +

.

Definisi 2.1.3. Diberikan barisan bilangan real ( ) n x dan ( ) n y , dan a Îℝ. Maka dapat

didefinisikan

(i) ( ) ( ) ( ) n n n n x ± y = x ± y .

(ii) ( ) ( ) n n a x = a x .

(iii) ( ) ( ) ( ) n n n n x × y = x × y .

(iv) ( )

( )

n n

n n

x x

y y

 

=  

 

, asalkan 0 n y ¹ .

Definisi 2.1.4. (Limit Barisan) Diketahui ( ) n x barisan bilangan real. Suatu bilangan

real x dikatakan limit barisan ( ) n x jika untuk setiap e > 0 terdapat K (e )Îℕ

sedemikian hingga untuk setiap nÎℕ dengan n ³ K (e ) berlaku n x x <e .

Jika x adalah limit suatu barisan ( ) n x , maka dikatakan ( ) n x konvergen ke x,

atau ( ) n x mempunyai limit x. Dalam hal ini ditulis lim( ) n

n

x x

®¥

= atau lim( ) n x = x atau

n x ® x . Jika ( ) n x tidak konvergen, maka ( ) n x dikatakan divergen.

Teorema 2.1.5. Jika barisan ( ) n x konvergen, maka ( ) n x mempunyai paling banyak

satu limit (limitnya tunggal).

Bukti. Andaikan lim( ) n

n

x x

®¥

= ¢ dan lim( ) n

n

x x

®¥

= ¢ dengan x¢ ¹ x¢ . Maka untuk sebarang

e > 0 terdapat K¢ sedemikian hingga n 2 x x¢ <e untuk setiap n ³ K¢ , dan terdapat

K¢ sedemikian hingga n 2 x x¢ <e untuk setiap n ³ K¢ . Dipilih K = max{K¢,K¢}.

Menggunakan Ketaksamaan Segitiga, maka untuk n ³ K diperoleh

Pengantar Analisis Real I

40

2 2 .

n n

n n

x x x x x x

x x x x

e e e

¢ – ¢ = ¢ – + – ¢

= ¢ – + – ¢

< + =

Karena berlaku untuk setiap e > 0 , maka x¢ – x¢ = 0 yang berarti x¢ = x¢ . Kontradiksi

dengan pengandaian. Jadi, terbukti bahwa limitnya tunggal. _

Teorema 2.1.6. Jika ( ) n x barisan bilangan real dan xÎℝ, maka empat pernyataan

berikut ekuivalen.

(a) Barisan ( ) n x konvergen ke x.

(b) Untuk setiap e > 0 terdapat K Îℕ sedemikian hingga untuk setiap n ³ K

berlaku n x x <e .

(c) Untuk setiap e > 0 terdapat K Îℕ sedemikian hingga untuk setiap n ³ K

berlaku n x -e < x < x +e .

(d) Untuk setiap persekitaran V (x) e dari x , terdapat K Îℕ sedemikian hingga

untuk setiap n ³ K berlaku ( ) n x V x e Î .

Bukti.

(a) ⇒ (b) Jelas (dari definisi).

(b) ⇒ (c) n x x <e Û n -e < x x <e Û n x -e < x < x +e .

(c) ⇒ (d) n x -e < x < x +e Û ( , ) n x Î x -e x +e Û ( ) n x V x e Î .

(d) ⇒ (a) ( ) n x V x e Î Û n x -e < x < x +e Û n x x <e . _

Contoh 2.1.7.

(a) Tunjukkan bahwa

1

lim 0

n®¥ n

= .

Pengantar Analisis Real I

41

Jawab. Akan ditunjukkan bahwa ( ) 1

n x

n

  =  

 

konvergen ke 0, yaitu

1

0

n

® . Harus

dibuktikan bahwa untuk setiap e > 0 terdapat K (e )Îℕ sedemikian hingga untuk

setiap nÎℕ dengan n ³ K (e ) berlaku

1

0

n

– <e .

Ambil sebarang e > 0 , maka

1

0

e

> . Menurut Sifat Archimedes, maka terdapat

K (e )Îℕ sedemikian hingga ( ) 1

K e

e

< , atau ( )

1

K

e

e

< . Akibatnya untuk setiap

n ³ K (e ) berlaku ( )

1 1 1 1

0

n n n K

e

e

– = = £ < . Jadi, terbukti bahwa untuk setiap e > 0

terdapat K (e )Îℕ sedemikian hingga untuk setiap nÎℕ dengan n ³ K (e ) berlaku

1

0

n

– <e , atau

1

lim 0

n®¥ n

= .

(b) Tunjukkan bahwa 2

1

lim 0

n®¥ n

= .

Jawab. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap e > 0 terdapat K (e )Îℕ sedemikian

hingga untuk setiap nÎℕ dengan n ³ K (e ) berlaku 2

1

0

n

– <e . Diambil sebarang

e > 0 , maka

1

e 2 > 0 , akibatnya 1

2

1

0

e

> . Menurut Sifat Archimedes, terdapat

K (e )Îℕ sedemikian hingga ( ) 1

2

1

K e

e

< atau ( )

1

2 1

K

e

e

< , diperoleh

( )2

1

K

e

e

< .

Akibatnya untuk setiap n ³ K (e ) berlaku

( )2 2 2

1 1 1

0

n n K

e

e

– = £ < . Jadi, terbukti

bahwa untuk setiap e > 0 terdapat K (e )Îℕ sedemikian hingga untuk setiap nÎℕ

dengan n ³ K (e ) berlaku 2

1

0

n

– <e , atau 2

1

lim 0

n®¥ n

= .

Pengantar Analisis Real I

42

Contoh 2.1.8. Tunjukkan bahwa (( 1) ) n – divergen.

Jawab. Andaikan (( 1) ) n – konvergen, berarti terdapat bilangan real x sehingga untuk

setiap e > 0 terdapat K Îℕ sedemikian hingga untuk setiap n ³ K berlaku

( 1) 1 n – – x < . Untuk n ³ K dan n genap, maka ( 1) 1 n – = , diperoleh

1- x <1 Û -1<1- x <1,

yang berakibat x > 0 . Untuk n ³ K dan n ganjil, maka ( 1) 1 n – = – , diperoleh

-1- x <1 Û -1< -1- x <1,

yang berakibat x < 0 . Timbul kontradiksi, yaitu x > 0 dan x < 0 . Jadi pengandaian

salah, yang benar (( 1) ) n – divergen.

Teorema 2.1.9. Diberikan barisan bilangan real ( : ) n X = x nÎℕ dan mÎℕ . Maka

( : ) m m n X x + n = Îℕ konvergen jika dan hanya jika X konvergen. Dalam hal ini

lim lim m X = X .

Bukti. Perhatikan bahwa untuk sebarang pÎℕ, elemen ke-p dari m X adalah elemen

ke- ( p + m) dari X. Sama halnya, jika q > m, maka bentuk elemen ke-q dari m X adalah

elemen ke- (q m) dari X.

Diasumsikan bahwa X konvergen ke x. Diberikan sebarang e > 0 , pada barisan

X untuk n ³ K(e ) berlaku n x x <e , maka pada m X untuk k ³ K(e ) –m berlaku

k x x <e . Dapat diambil ( ) ( ) m K e = K e –m , sehingga m X konvergen ke x.

Sebaliknya, jika pada m X untuk ( ) m k ³ K e berlaku k x x <e , maka pada X

untuk n ³ K(e ) + m berlaku n x x <e . Dapat diambil ( ) ( ) m K e = K e + m. Dengan

demikian terbukti bahwa X konvergen ke x jika dan hanya jika m X konvergen ke x. _

Pengantar Analisis Real I

43

Teorema 2.1.10. Diberikan barisan bilangan real ( ) n x dan xÎℝ. Jika ( ) n a adalah

suatu barisan bilangan real positif dengan lim( ) 0 n a = dan jika untuk c > 0 dan

mÎℕ berlaku

n n x x £ ca untuk semua n ³ m ,

maka lim( ) n x = x .

Bukti. Diambil e > 0 , maka 0

c

e > . Karena lim( ) 0 n a = , maka terdapat K ( c )

e Îℕ

sedemikian hingga untuk setiap n K ( c )

³ e berlaku 0 n a c

– <e . Akibatnya untuk

setiap n K ( c )

³ e berlaku n n x x c a c

c

– £ < ×e =e atau n x x <e . Terbukti bahwa

lim( ) n x = x . _

Contoh 2.1.11. Jika a > 0 , tunjukkan bahwa

1

lim 0

n®¥ 1 na

=

+

.

Jawab. Karena a > 0 , maka 0 < na <1+ na yang berakibat bahwa

1 1 1 1

0

1 na na n a

< < = ×

+

untuk setiap nÎℕ.

Diperoleh

1 1 1 1 1 1

0

1 na 1 na n a a n

– = < × = ×

+ +

untuk setiap nÎℕ.

Karena telah diketahui bahwa

1

lim 0

n®¥ n

= , maka menurut Teorema 2.1.10 dan dengan

mengambil

1

c 0

a

= > berakibat bahwa

1

lim 0

n®¥ 1 na

=

+

.

Comments
One Response to “BARISAN DAN DERET”
  1. Mr WordPress mengatakan:

    Hi, this is a comment.
    To delete a comment, just log in, and view the posts’ comments, there you will have the option to edit or delete them.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: